Loi de décroissance radioactive

L'activité d'un échantillon de radio-isotope donné peut s'exprimer avec les deux relations suivantes : `A(t)=-\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}` et `A(t)=\lambda\timesN(t)`.

En égalisant ces deux expressions, il vient : `-\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}=\lambda\timesN(t)`.

On obtient alors l'équation différentielle suivante : `\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}+\lambda\timesN(t)=0`.

La solution de cette équation différentielle est du type :

\(N(t)=K\times e^{ -\lambda\times t}+\frac{0}{\lambda}\) , soit \(N(t)=K\times e^{ -\lambda\times t}\)

À `t = 0` , on a  \(N(0)=K\times e^{ -\lambda\times 0}=K\)  et  \(N(0)=N_\text {0}\), donc \(K = N_0\).

On obtient ainsi la loi de décroissance radioactive vérifiée par le nombre de noyaux de radio-isotopes : \(N(t)=N_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}\).

De plus, comme `A(t)=\lambda\timesN(t)`, on a aussi `A(t)=\lambda\timesN_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}`.

Ainsi, comme `A(0)=\lambda\timesN_\text {0}=A_\text {0}`, on obtient aussi la loi de décroissance radioactive vérifiée par l'activité de l'échantillon de radio-isotopes : \(A(t)=A_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}\).